机器学习之loss

交叉熵（cross entropy）是深度学习中常用的一个概念，一般用来求目标与预测值之间的差距。以前做一些分类问题的时候，没有过多的注意，直接调用现成的库，用起来也比较方便。最近发现自己对交叉熵的理解有些模糊，不够深入。

信息论

交叉熵是信息论中的一个概念，要想了解交叉熵的本质，需要先从最基本的概念讲起。

1.信息量

如果说概率P是对确定性的度量，那么信息就是对不确定性的度量 举个例子： 事件A：巴西队进入了2018世界杯决赛 事件B：中国对进入了2018世界杯决赛 凭直觉来说，事件B的信息量比事件A的信息量大，究其原因，是因为事件A发生的概率很大，事件B发生的概率很小。所以当越不可能发生的事件发生了，我们获取到的信息量就越大。那么信息量应该和事件发生的概率有关，信息量的大小和事件发生的概率成反比。具体的数学表示如下：

假设$X$是一个离散型随机变量，其取值集合为$\chi$,概率分布函数$p(x)=P(X=x),x\epsilon\chi$,则定义事件$X=x_{0}$的信息量为： $$I(x_0)=-log(p(x_0))$$

2.熵

考虑另一个问题，对于某个事件，有$n$种可能性，每一种可能性都有一个概率$p(x_{i})$,这样就可以计算出某一种可能性的信息量

序号	事件	概率P	信息量
A	电脑正常	0.7	$-log(p(A))=0.36$
B	电脑死机	0.2	$-log(p(b))=1.61$
C	电脑爆炸	0.1	$-log(p(c))=2.30$

现在有了信息量的定义，而熵用来表示所有信息量的期望，即： $$H(X)=-\sum_{i=1}^n p(x_i)log(p(x_i))$$ 其中$n$代表所有的n中可能性，所以上面的结果就是： $$\begin{eqnarray} H(X)&=&-[p(A)log(p(A))+p(B)log(p(B))+p(C))log(p(C))]\ &=&0.7\times 0.36+0.2\times 1.61+0.1\times 2.30\ &=&0.804 \end{eqnarray}$$

然而一些比较特殊的问题，比如投掷硬币只有两种可能，买彩票只有两种可能，我们称之为0-1分布问题，对于这类问题，熵的计算方法可以简化为如下计算： $$\begin{eqnarray} H(X)&=&-\sum_{i=1}^n p(x_i)log(p(x_i))\ &=&-p(x)log(p(x))-(1-p(x))log(1-p(x)) \end{eqnarray}$$

3.相对熵(KL散度)

相对熵又称KL散度,如果我们对于同一个随机变量 x 有两个单独的概率分布 P(x) 和 Q(x)，我们可以使用 KL 散度（Kullback-Leibler (KL) divergence）来衡量这两个分布的差异。 如果用P来描述目标问题，而不是用Q来描述目标问题，得到的信息增量，<font color='red'>在机器学习中，P往往用来表示样本的真实分布，比如[1,0,0]表示当前样本属于第一类。Q用来表示模型所预测的分布，比如[0.7,0.2,0.1] </font>。 直观的理解就是如果用P来描述样本，那么就非常完美。而用Q来描述样本，虽然可以大致描述，但是不是那么的完美，信息量不足，需要额外的一些“信息增量”才能达到和P一样完美的描述。如果我们的Q通过反复训练，也能完美的描述样本，那么就不再需要额外的“信息增量”，Q等价于P。KL散度的计算公式： $$D_{KL}(p||q)=\sum_{i=1}^np(x_i)log(\frac{p(x_i)}{q(x_i)})$$ n为事件的所有可能性，$D_{KL}$的值越小，表示q分布和p分布越接近

4.交叉熵

对上式KL散度变形可以得到： $$\begin{eqnarray} D_{KL}(p||q) &=& \sum_{i=1}^np(x_i)log(p(x_i))-\sum_{i=1}^np(x_i)log(q(x_i))\ &=& -H(p(x))+[-\sum_{i=1}^np(x_i)log(q(x_i))] \end{eqnarray}$$

等式的前一部分正是p的熵，等式的后一部分，就是交叉熵： $$H(p,q)=-\sum_{i=1}^np(x_i)log(q(x_i))$$

在机器学习中，我们需要评估label和predict之间的差距，使用KL散度刚刚好，即：$D_{KL}(y||\hat{y})$，由于KL散度中的前一部分$-H(y)$不变，故在优化过程中，只需要关注交叉熵就可以了。

机器学习中交叉熵的应用

1.为什么要用交叉熵做loss函数？

在逻辑回归问题中，常常使用MSE（Mean Squared Error）作为loss函数，如： $$loss = \frac{1}{2m}\sum_{i=1}^m(y_i-\hat{y_i})^2$$

这里的m表示m个样本，loss为m个样本loss的均值。MSE在逻辑回归问题中比较好用，那么在分类问题中还是如此么？

2.交叉熵在单分类问题中的使用

这里的单分类是指，每一张图像样本只能有一个类别，比如只能是狗或者只能是猫。交叉熵在单分类问题上的标配方法是： $$loss=-\sum_{i=1}^{n}y_ilog(\hat{y_i})$$

这个式子为计算一张样本的loss，n表示有n中类别，每个样本只属于其中一种，举例说明：

*	猫	狗	兔
Label	0	1	0
Pred	0.3	0.6	0.1

那么loss为： $$\begin{eqnarray} loss&=&-(0\times log(0.3)+1\times log(0.6)+0\times log(0.1)\ &=&-log(0.6) \end{eqnarray}$$

对应一个batch的loss就是： $$loss=-\frac{1}{m}\sum_{j=1}^m\sum_{i=1}^{n}y_{ji}log(\hat{y_{ji}})$$

m为当前batch的样本数

3.交叉熵在多分类问题中的使用

这里的多类别是指，每一张图像样本可以由多个类别，比如同时包含一只猫和一只狗，和单分类问题的标签不同，多分类的标签是n-hot的。比如一张图里面既有猫，又有狗，那么具体看例子：

*	猫	狗	兔
Label	1	1	0
Pred	0.8	0.7	0.1

值得注意的是，这里的Pred不再是通过softmax计算的了，这里采用的是sigmoid激活函数，将每一个节点的输出归一化到0-1之间。所有Pred值的和也不再是1，换句话说，就是每一个Label都是独立分布的，相互之间没有影响。所以交叉熵在这里是单独对每一个节点进行计算，每一个节点只有两种可能值，所以是一个二项分布。对于这种只有两个结果0,1的分布，熵的计算可以进行简化，同样的，交叉熵的计算也可以简化，即： $$loss =-ylog(\hat{y})-(1-y)log(1-\hat{y})$$ 注意，上面式子只是针对一个节点的计算公式，这一点要和单分类的loss区分开来，例子中可以计算为： $$\begin{eqnarray} loss_猫 &=&-1\times log(0.8)-(1-1)log(1-0.8)=-log(0.8)\ loss_狗 &=&-1\times log(0.7)-(1-1)log(1-0.7)=-log(0.7)\ loss_兔 &=&-0\times log(0.1)-(1-0)log(1-0.1)=-log(0.9) \end{eqnarray}$$ 单张样本的loss即为$loss = loss_猫+loss_狗+loss_兔$ 每一个batch的loss就是： $$loss =\sum_{j=1}^{m}\sum_{i=1}^{n}-y_{ji}log(\hat{y_{ji}})-(1-y_{ji})log(1-\hat{y_{ji}})$$ 式中m为当前batch的样本数量，n为类别数。

补充（sigmoid与softmax）

1. 作用

sigmoid是一个激活函数，输入数据进行完线性变换后，都要进行一个非线性变换，原理就是计算sigmoid函数值，常用的激活函数还有tanh，relu等，sigmoid函数公式为：$f(x) =\frac{1}{1+e^{-x}}$，作用时将数值归一化到0-1之间。

tensorflow中的接口示例如下：

import tensorflow as tf
import numpy as np
sess = tf.InteractiveSession()
y = np.array([1.,2.,3.,4.])
sigmoid = tf.nn.sigmoid(y).eval()
print(sigmoid)
# [0.73105858 0.88079708 0.95257413 0.98201379]

softmax是网络结构输出层的一层，计算输出层的值。主要用于神经网络最后一层，作为输出层进行多分类，是Logistic二分类的推广。在Logistic回归中，loss函数是sigmoid交叉熵，所以loss公式为： $$H(X)=-p(x)log(p(x))-(1-p(x))log(1-p(x))$$

其中$p(x)$为$f(x) =\frac{1}{1+e^{-\theta^{\mathrm{T}}x}}$。 在softmax回归中，我们解决的事多分类问题，它的本质就是将一个K维的任意实数向量压缩（映射）成另一个K维的实数向量，其实向量中的每个元素取值都介于（0，1）之间，softmax函数形式如下： $$S_{i}=\frac{e^{V_{i}}}{\sum_{j}e^{V_{j}}}$$

也就是说，是该元素的指数与所有元数指数的比值，这个定义非常直观，还有很多优点。

• 计算与标注样本的差距

在神经网络的计算当中，我们经常需要计算按照神经网络的正向传播计算的分数S1，和按照正确标注计算的分数S2，之间的差距，计算Loss，才能应用反向传播。Loss定义为交叉熵： $$loss=-\sum_{i=1}^{n}y_{ji}log(\hat{y_{ji}})$$

其中$\hat{y}$就是softmax计算结果，这样的话，它占的比重越大，这个样本的Loss也就越小，这种定义符合我们的要求

• 计算上非常的方便

我们对分类的Loss进行改进的时候，我们要通过梯度下降，每次优化一个step大小的梯度，我们应用链式法则对loss进行求导，最后的形式非常简单，过程如下，我们重新定义loss，a为拟合值，是关于参数输出$z_{i}$的函数，y为真实标签，则： $$C = -\sum_{i}y_{i}log{a_{i}}$$

我们的目标是，求loss对于$z_{i}$的梯度：$\frac{\partial C}{\partial z_i}$，根据链式法则： $$\frac{\partial C}{\partial z_i} = \frac{\partial C}{\partial a_j} \frac{\partial a_j}{\partial z_i}$$

有个人可能有疑问了，这里为什么是aj而不是ai，这里要看一下softmax的公式了，因为softmax公式的特性，它的分母包含了所有神经元的输出，所以，对于不等于i的其他输出里面，也包含着$z_{i}$，所有的a都要纳入到计算范围中，并且后面的计算可以看到需要分为i=j和i≠j两种情况求导。 下面我们一个一个推： $$\frac{\partial C}{\partial a_j} = \frac{\partial (-\sum_j{y_j \log {a_j}})}{\partial a_j} = -\sum_j{y_j \frac{1}{a_j} }$$

第二个稍微复杂一点：(除法的导数公式${\frac{u}{v}=\frac{u^{'}v-uv^{'}}{v^{2}} }$)

• 如果 $i=j$：

$$\frac{\partial a_i}{\partial z_i} = \frac{\partial ( \frac{e^{z_i}}{\sum_k{e^{z_k}}})} {\partial z_i}= \frac{\sum_k{e^{z_k}e^{z_i} - (e^{z_i})^2}}{(\sum_k{e^{z_k} })^2 } = ( \frac{e^{z_i}}{\sum_k{e^{z_k}}})(1 - \frac{e^{z_i}}{\sum_k{e^{z_k}}}) = a_i(1-a_i)$$

• 如果 $i \neq j$：

$$\frac{\partial a_j}{\partial z_i} = \frac{\partial ( \frac{e^{z_j}}{\sum_k{e^{z_k}}})} {\partial z_i} = -e^{z_j}(\frac{1}{\sum_k{e^{z_k}}})^2e^{z_i} = -a_ia_j$$

ok,所有我们把上面的组合连起来： $$\frac{\partial C}{\partial z_i} = (-\sum_j{y_j \frac{1}{a_j} })\frac{\partial a_j}{\partial z_i} = - \frac{y_i}{a_i}a_i(1-a_i) + \sum_{j\neq i} \frac{y_j}{a_j}a_ia_j = -y_i + y_ia_i + \sum_{j\neq i}y_ja_i = -y_i + a_i\sum_jy_j$$ 最后的结果看起来简单了很多，最后针对分类问题，我们给定的$y_{i}$只会是0或者1，因此，对于分类问题，这个梯度等于： $$\frac{\partial C}{\partial z_i} = a_i - y_i$$

举个例子，通过若干层的计算，最后得到的某个训练样本的向量的分数是*[ 1, 5, 3 ]，那么概率分别就是[ 0.015, 0.866, 0.117]，如果这个样本正确的分类是第二个的话，那么计算出来的偏导就是[0.015,0.866−1,0.117]=[0.015,−0.134,0.117]*，！然后再根据这个进行back propagation就可以了。

tensorflow中关于softmax的使用：

import tensorflow as tf
import numpy as np
sess = tf.InteractiveSession()
y = np.array([1.,2.,3.,4.])
np.exp(y) / np.sum(np.exp(y))
# array([0.0320586 , 0.08714432, 0.23688282, 0.64391426])
softmax = tf.nn.softmax(y).eval()
print(softmax)
# [0.0320586  0.08714432 0.23688282 0.64391426]
tf.argmax(softmax, axis=0).eval()
# 3